Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n²+n，n∈N^*．
（1）求证：{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差数列；
（2）求数列{2^n-1•a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）要证{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差数列，即证$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$为常数，运用a_n+1=S_n+1-S_n，化简已知条件，即可得到；
（2）由等差数列的通项公式，可得a_n=2n，2^n-1•a_n=n•2ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：由a₁=2，n•a_n+1=S_n+n²+n，
可得n（S_n+1-S_n）=S_n+n²+n，
即有nS_n+1=（n+1）S_n+n（n+1），
两边同除以n（n+1），可得
$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1，即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，
可得{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首项为2，公差为1的等差数列；
（2）由（1）可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+n-1=n+1，
即有S_n=n（n+1），
则n•a_n+1=S_n+n²+n=2n（n+1），
即a_n+1=2（n+1），即有a_n=2n，2^n-1•a_n=n•2ⁿ，
前n项和T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化简可得，T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．