Question

2．数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n²a_n且a₁=2，则（　　）

• A． a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$
• B． a_n=$\frac{2}{n+1}$
• C． a_n=$\frac{4}{n+1}$
• D． a_n=$\frac{2}{{n}^{2}}$

Answer 1

分析 由题意和当n≥2时a_n=S_n-S_n-1化简已知的等式，得到数列的递推公式，利用累积法求出a_n．

解答 解：由题意得，S_n=n²a_n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-[（n-1）²a_n-1]，
化简得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$，
则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{3}{5}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$
以上n-1个式子相乘得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{1×2}{n（n+1）}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又a₁=2，则a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$，
故选：A．

点评 本题考查了数列递推公式的化简，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，以及累积法求出数列的通项公式，属于中档题．