Question

5．设关于x的不等式（x+2）（a-x）≥0（a∈R）的解集为M，不等式x²-2x-3≤0的解集为N，且M∩N=[-1，2]
（1）求实数a的值；
（2）若在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率．

Answer 1

分析 （1）根据不等式的解法先求出N，根据M∩N=[-1，2]，得到2是方程（x+2）（a-x）=0的根，进行求解即可．
（2）求出集合M，以及M∪N，根据几何概型的概率公式进行计算即可．

解答 解：（1）由x²-2x-3≤0得（x+1）（x-3）≤0，得-1≤x≤3，即N=[-1，3]，
∵M∩N=[-1，2]
∴2是方程（x+2）（a-x）=0的根，则4（a-2）=0，得a=2，
（2）当a=2时，x+2）（a-x）≥0等价为x+2）（2-x）≥0得-2≤x≤2，即M=[-2，2]，
则M∪N=[-2，3]，
∵M∩N=[-1，2]
∴在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率P=$\frac{2-（-1）}{3-（-2）}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查集合的基本运算以及几何概型的概率的计算，根据不等式的性质求出不等式的解集是解决本题的关键．