Question

15．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BC₁和B₁D₁所成角的大小为60°；直线BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大小为30°．

Answer 1

分析 连结DC₁，A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O，连结BO，由B₁D₁∥BD，得∠DBC₁是线BC₁和B₁D₁所成角，由此能求出直线BC₁和B₁D₁所成角的大小；推导出C₁O⊥平面B₁D₁DB，从而∠OBC₁是直线BC₁和平面B₁D₁DB所成角，由此能求出直线BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大小．

解答 解：连结DC₁，A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O，连结BO，
∵B₁D₁∥BD，∴∠DBC₁是线BC₁和B₁D₁所成角，
∵BD=BC₁=DC₁，
∴∠DBC₁=60°，
∴直线BC₁和B₁D₁所成角的大小为60°；
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁D₁⊥A₁C₁，BB₁⊥A₁C₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，
∴C₁O⊥平面B₁D₁DB，
∴∠OBC₁是直线BC₁和平面B₁D₁DB所成角，
∵$O{C}_{1}=\frac{1}{2}B{C}_{1}$，∴$sin∠OB{C}_{1}=\frac{O{C}_{1}}{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OBC₁=30°．
∴直线BC₁和平面B₁D₁DB所成角为30°．
故答案为：60°，30°．

点评 本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．