Question

3．近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个重要指标．各省、市、县均要进行实时监测，某市2015年11月的PM2.5浓度统计如图所示．

日期	PM2.5浓度	日期	PM2.5浓度	日期	PM2.5浓度
11-1	137	11-11	144	11-21	40
11-2	143	11-12	166	11-22	42
11-3	145	11-13	197	11-23	35
11-4	193	11-14	194	11-24	53
11-5	133	11-15	219	11-25	88
11-6	22	11-16	41	11-26	29
11-7	22	11-17	90	11-27	199
11-8	57	11-18	46	11-28	287
11-9	111	11-19	80	11-29	291
11-10	134	11-20	67	11-30	452

（1）请完成频率分布表；

空气质量指数类别	PM2.5 24小时浓度均值	频数	频率
优	0-35	4	$\frac{2}{15}$
良	36-75	7	$\frac{7}{30}$
轻度污染	76-115	4
中度污染	116-150	6
重度污染	151-250
严重污染	251-500
合计	/	30	1

（2）专家建议，空气质量为优、良、轻度污染时可正常进行户外活动，中度污染及以上时，取消一切户外活动，在2015年11月份，该市某学校进行了连续两天的户外拔河比赛，求拔河比赛能正常进行的概率．
（3）PM2.5浓度在75以上，空气质量为超标，陶先生在2015年11月份期间曾有两天经过该市，记ξ表示两天中PM2.5检测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件能求出频率分布表．
（Ⅱ） 学校进行了连续两天的户外拔河比赛，要能正常进行，利用列举法求出需选择的日期，由此能求出拔河比赛能正常进行的概率．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知条件能求出频率分布表：

空气质量指数类别	PM2.5 24小时浓度均值	频数	频率
优	0-35	4	$\frac{2}{15}$
良	36-75	7	$\frac{7}{30}$
轻度污染	76-115	4	$\frac{2}{15}$
中度污染	116-150	6	$\frac{1}{5}$
重度污染	151-250	6	$\frac{1}{5}$
严重污染	251-500	3	$\frac{1}{10}$
合计		30	1

…（3分）
（Ⅱ） 学校进行了连续两天的户外拔河比赛，要能正常进行，需选择的日期为：
（6，7）（7，8）（8，9）（16，17）（17，18）（18，19）（19，20）（20，21）（21，22）（22，23）（23，24）（24，25）（25，26），
所以拔河比赛能正常进行的概率为$\frac{13}{29}$．     …（6分）
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，
$P（ξ=0）=\frac{{C_{11}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{11}{87}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_{11}^1C_{19}^1}}{{C_{30}^2}}=\frac{209}{435}$，
$P（ξ=2）=\frac{{C_{19}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{57}{145}$…（9分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{11}{87}$	$\frac{209}{435}$	$\frac{57}{145}$

…（10分）
$Eξ=\frac{11}{87}×0+\frac{209}{435}×1+\frac{57}{145}×2=\frac{551}{435}=\frac{19}{15}$…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．