Question

20．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S_n，且T_n=$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$，求$\underset{lim}{n→∞}$T_n的值．

Answer 1

分析 对q讨论，分q=1，0＜q＜1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）当 $q=1，{S_n}=n，\lim_{n→∞}{T_n}=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}=\lim_{n→∞}\frac{n}{n+1}=1$；
（2）当$q≠1，{S_n}=\frac{{1-{q^n}}}{1-q}，\lim_{n→∞}{T_n}=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}=\lim_{n→∞}\frac{{1-{q^n}}}{{1-{q^{n+1}}}}$，
由$0＜q＜1，\lim_{n→∞}{T_n}=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}=\lim_{n→∞}\frac{{1-{q^n}}}{{1-{q^{n+1}}}}=1$．
综上得$\lim_{n→∞}{T_n}=1$．

点评 本题考查数列的极限的求法，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题．