Question

5．已知sinθ+cosθ=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，则tan（θ+$\frac{π}{4}$）=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． ±$\frac{1}{2}$
• D． ±2

Answer 1

分析 由题意和sin²θ+cos²θ=1联立解得sinθ和cosθ，进而可得tanθ，再由两角和的正切公式可得．

解答 解：∵sinθ+cosθ=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，sin²θ+cos²θ=1
联立解得$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{\sqrt{10}}{10}}\\{cosθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$时，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=3，tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$=-2；
当$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{\sqrt{10}}{10}}\\{cosθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$时，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{1}{3}$，tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$=2．
故选：D

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和分类讨论的思想，属中档题．