Question

10．设△ABC的内角A，B，C，已知C=$\frac{π}{3}$，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，则△ABC的内角A=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由向量故选的坐标表示和正弦定理可得b=2a，再由余弦定理可得c=$\sqrt{3}$a，再由余弦定理，即可得到A．

解答 解：若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，
可得sinB=2sinA，
由正弦定理可得b=2a，
C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC
=a²+4a²-4a²•$\frac{1}{2}$=3a²，
即c=$\sqrt{3}$a，
再由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4{a}^{2}+3{a}^{2}-{a}^{2}}{4\sqrt{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由A为三角形的内角，可得A=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查向量共线的坐标表示，以及解三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．