Question

18．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+a²-2，a∈R
（Ⅰ）若f（x）是奇函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，求a的值
（Ⅱ）设g（x）=f（1）-a²+|log₈（x+1）|，若g（x）在区间（-1，1）内有两个不同的零点m，n，求a的取值范围，并求$\frac{1}{m}$$+\frac{1}{n}$的值．

Answer 1

分析 （I）根据奇函数的性质可得a=$±\sqrt{2}$，令f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立可得出a的范围，从而得出a的值；
（II）令g（x）=0可得|log₈（x+1）|=a-1，作出y=|log₈（x+1）|的函数图象，根据图象即可得出a-1的范围，从而得出a的范围，根据g（m）=g（n）=0得出m，n的关系，利用对数的运算性质化简即可得出$\frac{1}{m}$$+\frac{1}{n}$的值．

解答 解：（I）∵f（x）是奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，
即a²-2=0，解得a=±$\sqrt{2}$．
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤x²在（0，+∞）上恒成立，∴a≤0．
∴a=-$\sqrt{2}$．
（II）g（x）=f（1）-a²+|log₈（x+1）|=a-1+|log₈（x+1）|，
令g（x）=0得|log₈（x+1）|=1-a，则方程|log₈（x+1）|=1-a在（-1，1）上有两解，
作出y=|log₈（x+1）|的函数图象如图所示：

∵方程|log₈（x+1）|=1-a在（-1，1）上有两解，
∴0＜1-a＜$\frac{1}{3}$，即$\frac{2}{3}$＜a＜1．
设m＜n，则-1＜m＜0＜n＜1，
∵g（m）=g（n）=0，
∴log₈（m+1）+log₈（n+1）=0，即（m+1）（n+1）=1，
∴mn+m+n=0，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=-1$．

点评 本题考查了函数单调性、奇偶性的性质，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．