Question

1．在△ABC中，已知$\sqrt{3}asinC-c（{2+cosA}）=0$，其中角A、B、C所对的边分别为a、b、c．求
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的最大边的边长为$\sqrt{13}$，且sinC=3sinB，求最小边长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，得$\sqrt{3}sinAsinC-sinC（{2+cosA}）=0$，从而$\sqrt{3}sinA-cosA=2$，由此能求出角A．
（2）求出$a=\sqrt{13}$，由sinC=3sinB，利用正弦定理得c=3b，从而最小边为长b，由此根据余弦定理，能求出最小边长为1．

解答 解：（1）∵在△ABC中，$\sqrt{3}asinC-c（{2+cosA}）=0$，
∴由正弦定理，得$\sqrt{3}sinAsinC-sinC（{2+cosA}）=0$，
∵sinC≠0，∴$\sqrt{3}sinA-cosA=2$，
∴$sin（{A-\frac{π}{6}}）=1$，且A∈（0，π）
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{2π}{3}$-----（6分）
（2）∵A=$\frac{2π}{3}$，△ABC的最大边的边长为$\sqrt{13}$，
∴a为最大边，故$a=\sqrt{13}$，
由sinC=3sinB，利用正弦定理得c=3b，
∴最小边为长b． 
根据余弦定理，有a²=b²+c²-2bccosA
∴13=b²+9b²+3b²，
解得b=1，故最小边长为1．-----（12分）

点评 本题考查角的大小、三角形中最小边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角函数恒等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．