Question

设函数f（x）=

mx

1+|x|

（其中|m|＞1），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M）}，则使M=N成立的实对数（a，b）有

 

对．

Answer 1

考点：集合的相等

专题：函数的性质及应用,集合

分析：先判断函数f（x）是奇函数，进而从认知集合切入．这里的集合N为函数f（x），（x∈M）的值域．注意到f（x）的表达式中含有|x|，为求f（x）的值域，先将f（x）化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析．最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：由函数f（x）=

mx

1+|x|

（x∈R） 可得f（-x）=

-mx

1+|-x|

=-

mx

1+|x|

=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
当x=0时，f（0）=0，
当x≠0时，f（x）=

m

|x| x + 1 x

，
当m＜-1时，
若x＞0，f（x）=

m

1+ 1 x

为减函数，若x＞0，f（x）=

m

-1+ 1 x

为减函数，
故函数f（x）在区间[a，b]上为减函数，
若M=N，则f（a）=b，且f（b）=a，
由点（a，b）与点（b，a）关于y=x对称，则a＜0＜b，
∴f（-a）=-f（a）=-b，
若b＜-a，则f（b）＞f（-a），a＞-b，-a＜b矛盾，
若b＞-a，则f（b）＜f（-a），a＜-b，-a＞b矛盾，
故b=-a，
x＞0时，f（x）=-x，即

m

1+ 1 x

=-x，解得x=-1-m＞0，
x＜0时，f（x）=-x，即

m

-1+ 1 x

=-x，解得x=1+m＜0，
故M=[1+m，-1-m]，
当m＞1时，
若x＞0，f（x）=

m

1+ 1 x

为增函数，若x＞0，f（x）=

m

-1+ 1 x

为增函数，
故函数f（x）在区间[a，b]上为增函数，
若M=N，则f（a）=a，且f（b）=b，
x＞0时，f（x）=x，即

m

1+ 1 x

=x，解得x=-1+m，
x＜0时，f（x）=x，即

m

-1+ 1 x

=x，解得x=1-m，
x=0时，f（0）=0，
故M=[1-m，0]，或M=[1-m，m-1]，或M=[0，m-1]
综上所述，当m＜-1时，使M=N成立的实对数（a，b）有1对，
当m＞1时，使M=N成立的实对数（a，b）有3对．
故答案为：1或3

点评：解决分段函数问题的基本策略：分段考察，综合结论．在这里，认知集合N仍是解题成败的关键所在．