题目内容
已知a＞0，f（x）=ax2+bx+c，对任意x∈R有f（x+2）=f（2-x），若f（1-2x2）＜f（1+2x-x2），求x的取值范围．
考点：二次函数的性质,函数单调性的性质
专题：不等式的解法及应用
分析：先由题中条件：“f（2+x）=f（2-x），”得出二次函数的对称轴及单调性，再利用单调性去掉符号“f“，解决即可．
解答：
解：∵对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），
∴二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是：x=2，
又a＞0，
∴f（x）在（-∞，2]上递减，在[2，+∞）递增，
∵1-2x2≤1，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2，
∴f（1-2x2）＜f（1+2x-x2）?1-2x2＞1+2x-x2?x（x+2）＜0?-2＜x＜0．
∴二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是：x=2，
又a＞0，
∴f（x）在（-∞，2]上递减，在[2，+∞）递增，
∵1-2x2≤1，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2，
∴f（1-2x2）＜f（1+2x-x2）?1-2x2＞1+2x-x2?x（x+2）＜0?-2＜x＜0．
点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法、对数函数的单调性以及方程思想，属于基础题．
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