Question

7．已知函数$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）-2cosx$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若$f（x）=\frac{6}{5}$，求$cos（2x-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．
（2）由条件利用二倍角的余弦公式求得cos（2x-$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（1）由于f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-2cosx=2sin xcos$\frac{π}{6}$+2cos xsin$\frac{π}{6}$-2cosx
=$\sqrt{3}$sin x-cos x=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{2}{3}$π+2kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2}{3}$π+2kπ]（k∈Z）．
（2）由（1）知f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），即 sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）=1-2${sin}^{2}（x-\frac{π}{6}）$=$\frac{7}{25}$．
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{7}{25}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．