Question

19．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-3≤0}\\{x-3y+3≤0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）在平面直角坐标系中，画出约束条件不等式组所表示的平面区域（用阴影标出）；
（Ⅱ）求z=-$\frac{1}{2}$x+y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由约束条件作出平面区域；
（Ⅱ）化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：（Ⅰ）由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-3≤0}\\{x-3y+3≤0}\end{array}}\right.$，在平面直角坐标系内画出平面区域（用阴影标出）；

（Ⅱ）当直线$y=\frac{1}{2}x+z$经过点A时z最大，经过点B时z最小．
由$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-3≤0}\\{x-3y+3≤0}\end{array}}\right.$，解得：$A（\frac{1}{2}，\;\frac{5}{2}）$，$B（\frac{3}{2}，\;\frac{3}{2}）$，
则：${Z_{max}}=-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{9}{4}$，${Z_{min}}=-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．