Question

15．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x+3（x∈R）．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值，并求取最大值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）由 x∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值，以及取最大值时对应的x的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x+3=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+3=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为5，
此时，x=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．