Question

设函数f（x）=x（9-x），对于任意给定的m位自然数n₀=

.

amam-1…a2a1

（其中a₁是个位数字，a₂是十位数字，…），定义变换A：A（n₀）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）．并规定A（0）=0．记n₁=A（n₀），n₂=A（n₁），…，n_k=A（n_k-1），…．
（Ⅰ）若n₀=2015，求n₂₀₁₅；
（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N^*）位自然数n均有A（n）＜10^m-1；
（Ⅲ）如果n₀＜10^m（m∈N^*，m≥3），写出n_m的所有可能取值．（只需写出结论）

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：（Ⅰ）由已知中变换A：A（n₀）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）．并规定A（0）=0．记n₁=A（n₀），n₂=A（n₁），…，n_k=A（n_k-1），将n₀=2015，代入可得答案．
（Ⅱ）由函数f(x)=x(9-x)=-(x-

9

2

)2+

81

4

，可得对于非负整数x，均有f（x）=x（9-x）≤20．当x=4或5时，取到最大值，故 A（n）≤20m，令 g（m）=10^m-1-20m，分析函数的最值上，可得结论；
（Ⅲ）如果n₀＜10^m（m∈N^*，m≥3），则n_m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．

解答： 解：（Ⅰ）n₁=14+0+8+20=42，
n₂=20+14=34，
n₃=18+20=38，
n₄=18+8=26，
n₅=14+18=32，
n₆=18+14=32，
…
所以 n₂₀₁₅=32．                                            …（3分）
证明：（Ⅱ）因为函数f(x)=x(9-x)=-(x-

9

2

)2+

81

4

，
所以对于非负整数x，知f（x）=x（9-x）≤20．（当x=4或5时，取到最大值）…（4分）
因为 A（n）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m），
所以 A（n）≤20m．                                         …（6分）
令 g（m）=10^m-1-20m，则g（3）=10^3-1-20×3＞0．
当m≥3时，g（m+1）-g（m）=10^m-20（m+1）-10^m-1+20m=9×10^m-1-20＞0，
所以 g（m+1）-g（m）＞0，函数g（m），（m∈N，且m≥3）单调递增．
故 g（m）≥g（3）＞0，即10^m-1＞20m≥A（n）．
所以当m≥3时，对于任意的m位自然数n均有A（n）＜10^m-1．…（9分）
解：（Ⅲ）n_m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．
…（14分）

点评：本题考查的知识点是合情推理，其中正解理解变换A：A（n₀）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）．及规定A（0）=0．记n₁=A（n₀），n₂=A（n₁），…，n_k=A（n_k-1）的含义是解答的关键．