Question

在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为

x=1+sin2θ y=2sinθ+2cosθ

（θ为参数）．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

a（其中a为常数）
（1）当a=

9

10

时，曲线M与曲线C有两个交点A，B．求|AB|的值；
（2）若曲线M与曲线C只有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线C的参数方程化为普通方程．
（1）直线与抛物线方程联立可得根与系数的关系、弦长公式即可得出．
（2）曲线M与曲线C只有一个交点．分类讨论：相切与相交时，结合图形即可得出．

解答： 解：∵C的方程是

x=1+sin2θ y=2sinθ+2cosθ

，消去参数θ，得y²=4x（0≤x≤2），
曲线M的方程ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

a，
即

2

2

ρsinθ-

2

2

ρcosθ=

2

2

a，化为直角坐标方程为：x-y+a=0，
（1）当a=

9

10

时，联立

y2=4x y=x+ 9 10

化简得：x2-

11

5

x+

81

100

=0，
∴

x1+x2=- 11 5 x1•x2= 81 100

，
即|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 5

5

．
（2）曲线M与曲线C只有一个交点．
①?相切时，将y=x+a代入y²=4x（0≤x≤2），
得x²+（2a-4）x+a²=0只有一个解，
∴△=（2a-4）²-4a²=0得a=1，
②?相交时，如图：-2

2

-2≤a＜2

2

-2，
综上：曲线M与曲线C只有一个交点时a=1或 -2

2

-2≤a＜2

2

-2．

点评：本题考查了把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、曲线C的参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交可得根与系数的关系、弦长公式、直线与抛物线相切问题，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．