Question

已知函数f（x）=alnx+

2

x

+x，若f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出f（x）的导函数，由f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，得f′（x）≥0恒成立，求出a的取值范围．

解答： 解：f′(x)=

a

x

-

2

x2

+1=

x2+ax-2

x2

，
令g（x）=x²+ax-2，∵f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
即g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，又∵g（x）过点（0，-2）且开口向上，
∴只需满足g（1）=1+a-2≥0，解得a≥1．
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题考查的是导数在研究函数单调性上的应用，运用了二次函数的有关性质．属于基础题．