题目内容
已知正实数a，b满足ab=a+b，则4a+b的最小值为 ．
考点：基本不等式
专题：计算题
分析：由条件ab=a+b变形为（a-1）（b-1）=1得出a、b的取值范围，再把4a+b中的b用a代换，最后应用基本不等式求解．
解答：
解：∵ab=a+b，∴ab-a-b=0，∴ab-a-b+1=1，∴（a-1）（b-1）=1
∴a-1＞0且b-1＞0，∴a＞1、b＞1
由ab=a+b得（a-1）b=a，∴b=
∴4a+b=4a+
=4a+
=4a+
+1=4（a-1）+
+5
∵a-1＞0
∴4（a-1）+
+5≥2
+5=9
当且仅当4(a-1)=
，即a-1=
，也即a=
时，上述“=”成立
∴4a+b≥9
故答案为：9
∴a-1＞0且b-1＞0，∴a＞1、b＞1
由ab=a+b得（a-1）b=a，∴b=
| a |
| a-1 |
∴4a+b=4a+
| a |
| a-1 |
| a-1+1 |
| a-1 |
| 1 |
| a-1 |
| 1 |
| a-1 |
∵a-1＞0
∴4（a-1）+
| 1 |
| a-1 |
4(a-1)•
|
当且仅当4(a-1)=
| 1 |
| a-1 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴4a+b≥9
故答案为：9
点评：应用基本不等式解题时要验证等号成立的条件；对于较复杂的数学问题，对式子合理的变形是解题的关键．
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