Question

已知函数f（x）=

x

1+x

；
（1）求f（2）与（

1

2

）f，f（3）与f（

1

3

）的值；
（2）由第（1）小题的结果，你能发现f（x）与f（

1

x

）之间有什么关系？请证明你的发现；
（3）练习第（2）小题的结论，求：
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）+f（

1

2014

）的值．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=

x

1+x

，易求f（2）与（

1

2

）f，f（3）与f（

1

3

）的值；
（2）由（1）可知，f（x）+f（

1

x

）=1；由f（x）+f（

1

x

）=

x

1+x

+

1 x

1+ 1 x

即可证得结论成立；
（3）由f（x）+f（

1

x

）=1即可求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）+f（

1

2014

）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

1+x

，
∴f（2）=

2

3

，f（

1

2

）=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，f（3）=

3

4

，f（

1

3

）=

1

4

；
（2）由（1）可知，f（x）+f（

1

x

）=1．
证明：∵f（x）=

x

1+x

，
∴f（x）+f（

1

x

）=

x

1+x

+

1 x

1+ 1 x

=

x

1+x

+

1

1+x

=

1+x

1+x

=1．
（3）由f（x）+f（

1

x

）=1得：
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）+f（

1

2014

）
=f（1）+[（f（2）+f（

1

2

））+（f（3）+f（

1

3

））+…+（f（2014）+f（

1

2014

））]
=

1

2

+2013=

4027

2

．

点评：本题考查函数的求值，求得f（x）+f（

1

x

）=1是关键，考查推理、观察与运算能力，属于中档题．