Question

已知函数f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若对x＞0，有f′（x）≥x-

4

3

成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=x³-x²-x+2，f′（x）=（x-1）（3x+1），分段讨论f（x）单调性即可求出函数f（x）的极值；
（2）由已知可得3x²-2ax-1≥|x|-

4

3

对?x∈R成立，当x＞0时，2a+1≤3x+

1

3x

，故可求得a≤

1

2

．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-x²-x+2，f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
令f′（x）=0，解得x₁=-

1

3

，x₂=1．
当f′（x）＞0时，得x＞1或x＜-

1

3

；
当f′（x）＜0时，得-

1

3

＜x＜1．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，- 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大	单调递减	极小	单调递增

∴当x=-

1

3

时，函数f（x）有极大值，f（x）_极大值=f（-

1

3

）=2

5

27

，
当x=1时函数f（x）有极小值，f（x）_极小值=f（1）=1
（2）∵f′（x）=3x²-2ax-1，∴对?x∈R，有f′（x）≥|x|-

4

3

成立，
即有3x²-2ax-1≥|x|-

4

3

对?x∈R成立，
当x＞0时，有3x²-（2a+1）x+

1

3

≥0，
即2a+1≤3x+

1

3x

，对?x∈（0，+∞）恒成立，
∵3x+

1

3x

≥2

3x× 1 3x

=2，当且仅当x=

1

3

时等号成立，
∴2a+1≤2
故a≤

1

2

．

点评：本题主要考察了利用导数研究函数的极值，导数的综合应用，属于中档题．