Question

已知a∈R，设命题p：函数f（x）=a^x是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax²+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．命题p为真命题时，指数函数f（x）=a^x的底数0＜a＜1，命题q为真命题时，对数函数g（x）=lg（2ax²+2ax+1）的真数2ax²+2ax+1＞0在R上恒成立，求得0≤a＜2．p∨q是真命题，p∧q是假命题，所以p，q一真一假，分类讨论即可．

解答： 解：当命题p为真命题时，因为函数f（x）=a^x是R上的单调递减函数，
所以0＜a＜1--------------------（2分）
当命题q为真命题时，因为函数g（x）=lg（2ax²+2ax+1）的定义域为R
所以2ax²+2ax+1＞0在R上恒成立
当a=0时，1＞0在R上恒成立----------------（4分）
当a≠0时，则有

a＞0 △=4a2-8a＜0

，解得0＜a＜2
所以，当命题q为真命题时，0≤a＜2---------------（8分）
因为p∨q是真命题，p∧q是假命题，所以p，q一真一假
当p真q假时，有

0＜a＜1 a＜0或a≥2

，无解--------------（9分）
当p假q真时，有

a≤0或a≥1 0≤a＜2

，解得1≤a＜2或a=0-----------（11分）
综上所述a的取值范围是1≤a＜2或a=0----------------（12分）

点评：解题关键是由p∨q是真命题，p∧q是假命题，得p，q一真一假