Question

已知函数f（x）=e^x-ax+1（a是常数）在x=0处的切线斜率为-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当x＞0时，证明e^x＞x²．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用函数的切线方程的斜率求出a，通过函数的导函数为0，判断函数的单调性，然后求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，f（x）≥f（ln2）=3-2ln2，推出e^x-2x+1＞3-2ln2，构造函数令g（x）=e^x-x²，（x＞0），利用新函数的单调性证明e^x＞2x．
法二：利用g（x）=e^x-x²，（x＞0），求出g'（x），构造函数h（x）=g'（x），求解h'（x），然后利用函数的导数判断函数的单调性，证明e^x＞2x．

解答： 解：f'（x）=e^x-a，因为f'（0）=-1，所以e⁰-a=-1，即a=2
（Ⅰ）f'（x）=e^x-2，当f'（x）=0时x=ln2x的变化，引起f'（x）、f（x）的变化情况如下表

x	（-∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

f（x）_极小值=（ln2）=3-2ln2（如果不列表，需先解导数值正负的不等式，得出x的取值范围，得出单调性，再得极值也可）
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，f（x）≥f（ln2）=3-2ln2，即e^x-2x+1＞3-2ln2
所以e^x-2x＞2-2ln2＞0．
令g（x）=e^x-x²，（x＞0），所以g'（x）=e^x-2x＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数
所以g（x）＞g（0）=1＞0，即e^x＞2x
法二：g（x）=e^x-x²，（x＞0），g'（x）=e^x-2x，令h（x）=g'（x）=e^x-2x，所以h'（x）=e^x-2，当h'（x）=e^x-2＞0时，x＞ln2，当h'（x）=e^x-2＜0时，x＜ln2
所以h（x）在（0，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，所以h（x）＞h（ln2）=2-ln2＞0，所以g'（x）=e^x-2x＞0，即g（x）g（x）在（0，+∞）上是增函数，所以g（x）＞g（0）=1＞0，即e^x＞2x

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程以及函数的单调性的判断极值的求法，考查转化思想以及计算能力．