题目内容
已知函数f（x）=-x3+3x在点A，B处分别取得极大值和极小值．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）过原点O的直线l若与f（x）的图象交于A，B两点，求|OA||OB|．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）过原点O的直线l若与f（x）的图象交于A，B两点，求|OA||OB|．
考点：利用导数研究函数的极值
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：（1）求导数，确定函数的单调性，可得函数的极大值和极小值，即可求A，B两点的坐标；
（2）由（1）得A（1，2），B（-1，-2），所以|OA|=|OB|=
，即可得出结论．
（2）由（1）得A（1，2），B（-1，-2），所以|OA|=|OB|=
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解答：
解：（1）f'（x）=（-x3+3x）'=-3x2+3=0…（1分）
可得x=-1或x=1．…（3分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况为
∴x=-1时，函数取得极小值-2，x=1时，函数取得极大值2，
∴A（1，2），B（-1，-2）…（7分）
（2）由（1）得A（1，2），B（-1，-2），
∴|OA|=|OB|=
，
∴|OA||OB|=5．…（13分）
可得x=-1或x=1．…（3分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况为
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | 单调递减 | -2 | 单调递增 | 2 | 单调递减 |
∴A（1，2），B（-1，-2）…（7分）
（2）由（1）得A（1，2），B（-1，-2），
∴|OA|=|OB|=
| 5 |
∴|OA||OB|=5．…（13分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，属于中档题．
练习册系列答案
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