Question

已知函数f（x）=x³+ax²+3，x=2是y=f（x）的一个极值点．
（1）求实数a的值．
（2）若方程f（x）=m只有一个解，则m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²+2ax，且f′（2）=12+4a=0，由此能求出a．
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²+3，f′（x）=3x²-6x，由此利用导数性质f（x）_极小值=f（2）=-1，f（x）_极大值=f（0）=3，由此能求出满足方程f（x）=m只有一个解的m的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+3，
∴f′（x）=3x²+2ax，
∵x=2是y=f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=12+4a=0，解得a=-3．
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²+3，
f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）=0，得x=0或x=2，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）增区间为（-∞，0），（2，+∞），减区间为（0，2），
∴f（x）_极小值=f（2）=-1，f（x）_极大值=f（0）=3，
∵方程f（x）=m只有一个解，
∴结合函数性质，得m＜-1或m＞3．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．