Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

2 5

5

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，求sinα．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，同理|

b

|=1．利用数量积运算性质|

a

-

b

|=

2 5

5

，可得

a 2+ b 2-2 a • b

=

2 5

5

，展开即可得出；
（2）由0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，可得0＜α-β＜π，cosβ=

1-sin2β

，sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．

解答： 解：（1）|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，同理|

b

|=1．
∵|

a

-

b

|=

2 5

5

，
∴

a 2+ b 2-2 a • b

=

2 5

5

，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=

4

5

，
∴cos（α-β）=

3

5

．
（2）∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，
∴0＜α-β＜π，cosβ=

1-sin2β

=

12

13

．
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

4

5

．
∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

4

5

×

12

13

+

3

5

×(-

5

13

)=

33

65

．

点评：本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．