Question

6．已知t＞0，设函数f（x）=x³-$\frac{3（t+1）}{2}$x²+3tx+1．φ（x）=xe^x-m+2
（1）当m=2时，求φ（x）的极值点；
（2）讨论f（x）在区间（0，2）上的单调性；
（3）f（x）≤ϕ（x）对任意x∈[0，+∞）恒成立时，m的最大值为1，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论t的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为m≤xe^x-m³+$\frac{3（t+1）}{2}$x²-3tx+1=x[e^x-x²+$\frac{3（t+1）}{2}$-3t]+1对任意x∈[0，+∞）恒成立．令g（x）=e^x-x²+$\frac{3（t+1）}{2}$x-3t，x∈[0，+∞），根据函数的单调性求出t的范围即可．

解答 解：（1）当m=2时，ϕ（x）=xe^x，∴ϕ′（x）=e^x（x+1），
令ϕ′（x）=0，则x=-1，当x＜-1时，ϕ′（x）＜0；当x＞-1时，ϕ′（x）＞0，
所以x=-1是ϕ（x）的极小值点，无极大值点．                                                 
（2）f'（x）=3x²-3（t+1）x+3t=3（x-1）（x-t），
①当0＜t＜1时，f（x）在（0，t），（1，2）上单调递增；在（t，1）上单调递减，
②当t=1时，f（x）在（0，2）上单调递增．
③当1＜t＜2时，f（x）在（0，1），（t，2）上单调递增；在（1，t）上单调递减，
④当t≥2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减；
（3）∵$f（x）={x^3}-\frac{3（t+1）}{2}{x^2}+3tx+1$，ϕ（x）=xe^x-m+2．
由f（x）≤ϕ（x）得x³-$\frac{3（t+1）}{2}$x²+3tx+1≤xe^x-m+2对任意x∈[0，+∞）恒成立，
即m≤xe^x-m³+$\frac{3（t+1）}{2}$x²-3tx+1=x[e^x-x²+$\frac{3（t+1）}{2}$-3t]+1对任意x∈[0，+∞）恒成立．
令g（x）=e^x-x²+$\frac{3（t+1）}{2}$x-3t，x∈[0，+∞），
根据题意，可以知道m的最大值为1，则g（x）≥0恒成立，
由于g（0）=1-3t≥0，则$0＜t≤\frac{1}{3}$，
当$0＜t≤\frac{1}{3}$时，g′（x）=e^x-2x+$\frac{3（t+1）}{2}$，
令h（x）=e^x-2x+$\frac{3（t+1）}{2}$，则h′（x）=e^x-2，令h′（x）=0，得x=ln2，
则h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
则$h{（x）_{min}}=g'（ln2）=2+\frac{3（t+1）}{2}-2ln2＞0$，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增．
从而g（x）≥g（0）=1-3t≥0，满足条件，
故t的取值范围是$（0，\frac{1}{3}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．