Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-9，a₂为整数，且对任意n∈N^*都有S_n≥S₅．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_1}=\frac{4}{3}$，${b_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n为奇数\\-{b_n}+{（-2）^n}，n为偶数\;\end{array}\right.$（n∈N^*），求{b_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，若数列{c_n}满足${c_n}={b_{2n}}+{b_{2n+1}}+λ{（-1）^n}{（\frac{1}{2}）^{{a_n}+5}}\;（n∈{N^*}）$．是否存在实数λ，使得数列{c_n}是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件S_n≥S₅可知{a_n}前5项为负数或0，第6项后为整数，列出不等式得出d，即可得出通项公式；
（2）n为偶数时，${b_n}+{b_{n+1}}={（-2）^n}={2^n}$．利用此性质再根据n的奇偶性计算T_n；
（3）令c_n+1-c_n＞0，分离参数得出λ关于n的不等式，根据数列的单调性得出λ的最值即可得出λ的取值范围．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a_5}≤0\\{a_6}≥0\end{array}\right.$，∴$\frac{9}{5}≤d≤\frac{9}{4}$，
∵a₂∈Z，即-9+d是整数，∴d=2﹒∴a_n=-9+2（n-1）=2n-11．
（2）当n为偶数时，${b_n}+{b_{n+1}}={（-2）^n}={2^n}$．
①当n为奇数时（n≥3），T_n=b₁+（b₂+b₃）+（b₄+b₅）+…+（b_n-1+b_n）=${b_1}+{2^2}+{2^4}+…+{2^{n-1}}$=$\frac{4}{3}+\frac{{4（1-{4^{\frac{n-1}{2}}}）}}{1-4}=\frac{{{2^{n+1}}}}{3}$．
当n=1时也符合上式．
②当n为偶数时，${T_n}={T_{n-1}}+{b_n}=\frac{2^n}{3}+{a_{n-1}}=\frac{2^n}{3}+2n-13$﹒
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{{2^{n+1}}}}{3}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n为奇数\\ \frac{2^n}{3}+2n-13，\;n为偶数.\end{array}\right.$﹒
（3）${c_n}={4^n}+λ{（-1）^n}{（\frac{1}{4}）^{n-3}}$，
假设{c_n}是单调递增数列，
则${c_{n+1}}-{c_n}=3•{4^n}-80λ{（-\frac{1}{4}）^n}＞0$对任意n∈N^*都成立，
当n为奇数时，$λ＞-\frac{3}{80}•{4^{2n}}$，
令f（n）=-$\frac{3}{80}$•4²ⁿ，则f（n）单调递减，∴f（n）≤f（1）=-$\frac{3}{5}$，
∴$λ＞-\frac{3}{5}$﹒
当n为偶数时，$λ＜\frac{3}{80}•{4^{2n}}$，
令g（n）=$\frac{3}{80}$•4²ⁿ，则g（n）单调递增，∴g（n）≥g（2）=$\frac{48}{5}$，
∴λ＜$\frac{48}{5}$．
综上：$λ∈（-\frac{3}{5}，\;\frac{48}{5}）$．

点评 本题考查了等差数列的性质，数列的求和，数列单调性的判断，属于中档题．