Question

15．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F（0，$\sqrt{2}$），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，由S_△MBC=$\frac{1}{2}$×2×|BC|=|BC|=π可求得其周期T=2π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=1，再由f（0）=2sinφ=$\sqrt{2}$，可求得φ，从而可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f（α-$\frac{π}{4}$）=2sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可求得sinα，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α的值．

解答 解：（Ⅰ）因为S_△MBC=$\frac{1}{2}$×2×|BC|=|BC|=π，
所以周期T=2π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=1，
由f（0）=2sinφ=$\sqrt{2}$，得sinφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为0＜φ＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{4}$，
所以f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）；
（Ⅱ）由f（α-$\frac{π}{4}$）=2sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，得sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以cos2α=1-2sin²α=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．