Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推公式可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项为2，公比为2的等比数列，再根据求和公式计算即可．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n项和S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2

点评 本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．