题目内容
3．设点A（x，y）在区域$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$上，点B（y，-x），设向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，则点C构成的几何图形的面积是（ ）| A． | 3 | B． | 2 | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 1 |
分析 由已知向量等式可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x+y，y-x），设C（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-n}{2}}\\{y=\frac{m+n}{2}}\end{array}\right.$．代入$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m-n≥2}\\{m+n≥2}\\{m≤3}\end{array}\right.$，作出可行域，利用三角形面积公式求得答案．
解答 解：∵A（x，y），B（y，-x），
∴向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x+y，y-x），
设C（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=m}\\{y-x=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-n}{2}}\\{y=\frac{m+n}{2}}\end{array}\right.$．
代入$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m-n≥2}\\{m+n≥2}\\{m≤3}\end{array}\right.$，
作出可行域如图：
联立$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得C（3，-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{m-n=2}\end{array}\right.$，解得B（3，1），
又A（2，0），
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}×2×1=1$．
故选：D．
点评 本题考查简单的线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．
培优三好生系列答案
优化作业上海科技文献出版社系列答案| A． | a≥0且b≥0 | B． | a≤0且b≤0 | C． | a＜0且b＜0 | D． | a＜0或b＜0 |
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等边三角形，侧面AA1C1C是正方形，E是A1B的中点，F是棱CC1上的点．| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{2}$ |
| A． | {-1，3} | B． | {（-1，1），（3，9）} | C． | {1，-3} | D． | ∅ |
| A． | ?x＞0，2x＜log2x | B． | ?x0＞0，${2^{x_0}}≤{log_2}{x_0}$ | ||
| C． | ?x0＞0，${2^{x_0}}＜{log_2}{x_0}$ | D． | ?x0＞0，${2^{x_0}}≥{log_2}{x_0}$ |
| A． | （1，2） | B． | （1，$\frac{3}{2}$] | C． | [$\frac{3}{2}$，2） | D． | （$\frac{3}{2}$，2） |