Question

已知函数f（x）=x³-3x²+bx+c在x=1处的切线是y=（3a-3）x-3a+4．
（1）试用a表示b和c；
（2）求函数f（x）在[1，3]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）先求出函数f（x）的导数f′（x），求出f′（1），根据条件求出f（1），列出方程，得到b=3a，c=3-3a；
（2）用a表示b，c改写函数f（x）的解析式，求出导数f′（x），并配方，对a进行讨论，分a≥1，a＜1，对a＜1再分-3＜a＜1和a≤-3，根据函数的单调性，分别求出最小值，最后用分段函数表示即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²-6x+b，
∴f′（1）=-3+b，
∵函数f（x）在x=1处的切线是y=（3a-3）x-3a+4，
∴b-3=3a-3，即b=3a，
又f（1）=b+c-2=1，即c=3-3a；
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，
∴f′（x）=3x²-6x+3a=3（x-1）²+3（a-1）
∴当a≥1时，f'（x）≥0在[1，3]上恒成立，
即f（x）在[1，3]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=1；
当a＜1时，由f'（x）=3（x-1）²+3（a-1）≥0得x≥1+

1-a

或x≤1-

1-a

，
由f'（x）=3（x-1）²+3（a-1）≤0得1-

1-a

≤x≤1+

1-a

，
又∵1-

1-a

＜1∴当1+

1-a

≥3，即a≤-3时，有f'（x）≤0在[1，3]上恒成立，
即f（x）在[1，3]上单调递减，∴f（x）_min=f（3）=6a+3；
当1+

1-a

＜3，即-3＜a＜1时，
∴当1≤x≤1+

1-a

时，f'（x）≤0，当1+

1-a

≤x≤3时，f'（x）≥0，
即f（x）在[1，1+

1-a

]上单调递减，在[1+

1-a

，3]上单调递增，
∴f(x)min=f(1+

1-a

)=1-2(a+1)

1-a

；
综上可得，f（x）_min=

1，a≥1 1-2(a+1) 1-a ，-3＜a＜1 6a+3，a≤-3

．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合运用，考查运用导数求切线，求函数的单调区间、求最值，同时考查分类讨论思想，注意分类的全面，是一道综合题．