Question

已知函数f（x）=x²+|x+a|+b（x∈R），求证：函数f（x）是偶函数的充要条件为a=0．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据函数奇偶性的定义，以及充要条件的定义进行证明即可．

解答： 证：充分性：定义域关于原点对称．∵a=0，∴f（x）=x²+|x|+b，∴f（-x）=（-x）²+|-x|+b=x²+|x|+b，
∴f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数．
必要性：∵f（x）是偶函数，则对任意x有f（-x）=f（x），
得（-x）²+|-x+a|+b=x²+|x+a|+b，即|x-a|=|x+a|，
∴a=0．
综上所述，原命题得证．

点评：本题主要考查偶函数的定义以及充要条件的应用，要求熟练掌握充要条件的定义．