Question

已知函数f（x）=lnx-x，若f（x）-m+1≤0恒成立，求m的取值范围．

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：把f（x）=lnx-x代入f（x）-m+1≤0，由f（x）-m+1≤0恒成立得到m≥lnx-x+1恒成立，构造函数g（x）=lnx-x+1（x＞0）．利用导数求其最大值得答案．

解答： 解：∵f（x）=lnx-x，
则f（x）-m+1≤0恒成立等价于m≥lnx-x+1．
令g（x）=lnx-x+1（x＞0）．
则g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数．
∴当x=1时，函数g（x）有极大值，也就是最大值．
∴g（x）_max=g（1）=0．
∴m≥0．
故答案为：m≥0．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是中档题．