Question

已知函数log

1

2

(x3-ax-a+2)（a＞0）在区间（-

1

2

，0）上为增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  3

  4

  ]
• B、（

  3

  4

  ，+∞）
• C、[

  3

  4

  ，2）
• D、[

  3

  4

  ，2]

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：导数的概念及应用

分析：由已知得t=x³-ax-a+2在（-

1

2

，0）上是减函数，设h（x）=x³-ax-a+2，则h′（x）=3x²-a，由此求出a≥

3

4

；又在函数log

1

2

(x3-ax-a+2)（a＞0）中，t=x³-ax-a+2＞0，从而在（-

1

2

，0）内，t＞t（0）=-a+2≥0，由此能求出a的值．

解答： 解：∵函数f（x）=log

1

2

(x3-ax-a+2)（a＞0）在区间（-

1

2

，0）上为增函数，
g（t）=log 

1

2

t是减函数，
∴t=x³-ax-a+2在（-

1

2

，0）上是减函数，
设h（x）=x³-ax-a+2，则h′（x）=3x²-a，
由h′（x）=3x²-a＜0，得-

3a

3

＜x＜

3a

3

，
∵t=x³-ax-a+2在（-

1

2

，0）上是减函数，
∴

- 3a 3 ≤- 1 2 3a 3 ≥0

，解得a≥

3

4

，
在函数log

1

2

(x3-ax-a+2)（a＞0）中，
t=x³-ax-a+2＞0，
∵t=x³-ax-a+2在（-

1

2

，0）上是减函数，
∴在（-

1

2

，0）内，t＞t（0）=-a+2≥0，
∴a≤2，
综上所述，a∈[

3

4

，2]．
故选：D．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．