Question

【题目】已知函数，．

求函数的单调区间；

当时，若在区间上恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；

当时，函数的单调递增区间为，无减区间；

当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；

.

【解析】

先求出的定义域，在求导，根据的范围得到函数的单调区间；

根据函数的单调性求出函数的最值，再由在区间上恒成立，，得出的取值范围.

解：的定义域为，

.

当时，，令，解得，则函数在上单调递增，

令，解得，则函数在上单调递减.

当时，令，解得，则函数在上单调递减，

令，解得或，则函数在，上单调递增.

当时，恒成立，则函数的单调递增区间为.

当时，，令，解得，则函数在上单调递减，

令，解得或，则函数在，上单调递增.

由得当时，函数在区间上单调递增，

则，故不满足条件；

当时，由可知，函数在上单调递增，在上单调递减.

，满足条件；

当时，由可知，则函数在，上单调递增，在上单调递减，

当时，函数有极小值，极小值为.

若极小值为最小值，在区间上恒成立，则，

解得，

若，

则，即.

因为，

所以的取值范围为.