Question

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为1，（c-2a）cosB+bcosC=0．
（1）求角B的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由正弦定理可以将（c-2a）cosB+bcosC=0整理变形可得2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，又由三角函数的和差公式可得2sinA•cosB=sin（B+C），进而可得2sinA•cosB=sinA，即cosB=$\frac{1}{2}$，由B的范围可得B的值．
（2）根据题意，由正弦定理可得b的值，同时可得a+c=2（sinA+sinC），由三角函数的和差公式变形可得a+c=2$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$），结合C的范围，计算可得a+c的范围，由b的值，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，即2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC
变形可得：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC
∴2sinA•cosB=sin（B+C）
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA
∴2sinA•cosB=sinA，即cosB=$\frac{1}{2}$，
则B=$\frac{π}{3}$；
（2）根据题意，由（1）可得B=$\frac{π}{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又由正弦定理b=2RsinB=$\sqrt{3}$，
a=2RsinA=2sinA，c=2RsinC=2sinC；
则a+c=2（sinA+sinC）=2[sin（$\frac{2π}{3}$-C）+sinC]=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{2}$sinC]=2$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$），
又由0＜C＜$\frac{2π}{3}$，则$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
则有$\frac{1}{2}$＜sin（C+$\frac{π}{6}$）≤1，
故$\sqrt{3}$＜a+c≤2$\sqrt{3}$，
则有2$\sqrt{3}$＜a+b+c≤3$\sqrt{3}$，
即△ABC周长的取值范围为（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查正弦定理的应用，涉及两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，关键是正确运用三角函数的和差公式，对三角函数恒等变形．