Question

10．平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow e$满足$|{\overrightarrow e}|=1，\overrightarrow a•\overrightarrow e=1，\overrightarrow b•\overrightarrow e=2，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，则$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 分别设设$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{e}$=（1，0），由题意可得化为（y₁-y₂）²=3，只考虑y₁y₂＜0．不妨取y₂＞0，y₁＜0．利用基数量积运算、本不等式可求答案．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂）．
∵$\overrightarrow{e}$满足|$\overrightarrow{e}$|=1，∴不妨取$\overrightarrow{e}$=（1，0）．
∵$|{\overrightarrow e}|=1，\overrightarrow a•\overrightarrow e=1，\overrightarrow b•\overrightarrow e=2，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，
∴x₁=1，x₂=2．
∴$\overrightarrow{a}$=（1，y₁），$\overrightarrow{b}$=（2，y₂）．
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$\sqrt{1+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=2，化为（y₁-y₂）²=3．
只考虑y₁y₂＜0．不妨取y₂＞0，y₁＜0．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2+y₁y₂=2-（-y₁）y₂≥2-$\frac{-{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，当且仅当-y₁=y₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号．
∴则$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值为$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$

点评 本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．