Question

对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=cos

π

2

x；②f（x）=x²-1；③f（x）=|x²-1|；④f（x）=log₂（x-1）．
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是

 

（请写出所有正确的序号）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．

解答： 解：①f（x）=cos

π

2

x，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；
②f（x）=x²-1，x∈[-1，0]时，f（x）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；
③f（x）=|x²-1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；
④f（x）=log₂（x-1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；
而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．
故答案为：①②③．

点评：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．