Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点（

an

，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=x²+1的图象上．数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列，由此能求出a_n=1+（a-1）×1=n，从而b_n+1-b_n=2ⁿ．由此利用累加法能求出b_n．
（2）由C_n=n2ⁿ-n，利用分组求和法和错位相减法能求出{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1，
所以数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故a_n=1+（a-1）×1=n  
从而b_n+1-b_n=2ⁿ．∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1
（2）C_n=n2ⁿ-n
令Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，①
则2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
由错位相减法可得Tn=(n-1)•2n+1+2
从而Sn=(n-1)•2n+1+2-

n(n+1)

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法、分组求和法和错位相减法的合理运用．