Question

5．某厂有容量300吨的水塔一个，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知：该厂生活用水每小时10吨，工业用水总量W（吨）与时间t（单位：小时，规定早晨六点时t=0）的函数关系为W=100$\sqrt{t}$，水塔的进水量有10级，第一级每小时水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在供应同时打开进水管．问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水（即水塔中水不空），又不会使水溢出？

Answer 1

分析 解决本题的关键是水塔中的水不空又不会使水溢出，其存水量的平衡与进水量、选择的进水级别与进水时间相关，而出水量有生活用水与工业用水两部分构成，故水塔中水的存量是一个关于进水级别与用水时间的函数．因此设进水量选第n级，t小时后水塔中水的剩余量为：y=100+10nt-10t-100$\sqrt{t}$，且0≤t≤16．解0＜y≤300，-$\frac{10}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1＜n≤$\frac{20}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1对一切t∥（0，16]恒成立，即可得出结论．

解答 解析：设水塔进水量选择第n级，在t时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt吨，减去生产用水10t吨，在减去工业用水W=100$\sqrt{t}$吨，即y=100+10nt-10t-100$\sqrt{t}$（0＜t≤16）；…（4分）
若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0＜y≤300．
即0＜100+10nt-10t-100$\sqrt{t}$≤300，…（6分）
所以-$\frac{10}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1＜n≤$\frac{20}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1对一切t∥（0，16]恒成立．…（8分）
因为-$\frac{10}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1=$-10（\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{2}$≤$\frac{7}{2}$，$\frac{20}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1=$20（\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}$≥$\frac{19}{4}$，…（11分）
所以$\frac{7}{2}≤n≤\frac{19}{4}$，即n=4．即进水选择4级．…（12分）

点评 本题以函数在实际生活中的应用为例，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，属于中档题．着重考查数学建模的基本思想，怎么样把实际问题转化为数学问题，进而用已有的数学知识求这个问题的解．在解题过程中运用了化二元为一元，化为基本初等函数的数学思想．