Question

16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（-x）+f（x+3）=0；当x∈（0，3）时，f（x）=$\frac{elnx}{x}$，其中e是自然对数的底数，且e≈2.72，则方程6f（x）-x=0在[-9，9]上的解的个数为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 确定f（x）的周期为3，函数在（0，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，在[0，9]上作出y=f（x）的图象，作出y=$\frac{x}{6}$的图象，即可得出结论．

解答 解：依题意，f′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$，故函数f（x）在上（0，e）单调递增，在（e，3）上单调递减，
故当x∈（0，3）时，f（x）_max=f（e）=1，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（-x）+f（x+3）=0，即f（x+3）=f（x），且f（0）=0；
由6f（x）-x=0可知，f（x）=$\frac{x}{6}$．
在同一直角坐标系中，作出函数y=f（x）与y=$\frac{x}{6}$在[-9，9]上的图象如下图所示，

观察可知，y=f（x）与y=$\frac{x}{6}$有7个交点，即方程6f（x）-x=0的解有7个，
故选D．

点评 本题考查单调性和极值，函数的奇偶、周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．