Question

10．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=4$，sinB=cosAsinC，E为线段AC的中点，则$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{EA}$的值为-1．

Answer 1

分析 由sinB=sin（A+C）便可得出cosC=0，进而得出$C=\frac{π}{2}$，画出图形，从而得到$\overrightarrow{EB}=-\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{EA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，这样代入$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{EA}$进行数量积的运算即可求出该数量积的值．

解答 解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC；
∴sinAcosC=0；
∴cosC=0，$C=\frac{π}{2}$，如图：

$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{EA}=[-\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）]•$$（-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{4}（\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{4}（-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+0）$
=-1．
故答案为：-1．

点评 考查两角和的正弦公式，三角形内角的范围，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，向量数量积的运算．