Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若函数f（x）是偶函数，求f（x）的解析式；
（2）要使函数f（x）在区间[-1，3]上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（1）可得到b+c=-1，由f（x）是偶函数可得b=0，所以得到c=-1，这样便可得到f（x）解析式；
（2）f（x）是二次函数，求出f（x）的对称轴x=-

b

2

，所以根据f（x）在[-1，3]上单调递增可得-

b

2

≤-1，所以得出b的取值范围为[2，+∞）．

解答： 解：（1）f（1）=0得1+b+c=0；
f（x）是偶函数，∴f（-x）=x²-bx+c=x²+bx+c；
∴b=0，c=-1；
∴f（x）=x²-1；
（2）f（x）的对称轴为x=-

b

2

；
∵f（x）在[-1，3]上单调递增；
∴-

b

2

≤-1，b≥2；
∴b的取值范围为[2，+∞）．

点评：考查偶函数的定义，以及二次函数的单调性与对称轴的关系．