Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx-1（a是常数，e≈=2.71828）．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e²]上有两解，求实数m的取值范围；
（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先根据x=2是函数f（x）的极值点求出a的值，然后利用导数求出切线的斜率，从而可求出切线方程；
（2）利用导数研究函数的单调性，求出函数f（x）的最小值，以及区间端点的函数值，结合图象可得m的取值范围；
（3）ln(en)＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

等价于lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，若a=1时，由（2）知f（x）在[1，+∞）上为增函数，可证得ln

n

n-1

＞

1

n

，从而可得结论．

解答： 解：（1）f′(x)=

x-a

x2

．
因为x=2是函数f（x）的极值点，
所以a=2，则f（x）=

2

x

+lnx-1，
则f（1）=1，f'（1）=-1，所以切线方程为x+y-2=0；
（2）当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1，f′(x)=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e²]，
当x∈[

1

e

，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e²]时，f'（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e²]上唯一的极小值点，∴[f（x）]_min=f（1）=0． 
又f(

1

e

)=e-2，f(e2)=

1

e2

+lne2-1=

1

e2

+1，f(

1

e

)-f(e2)=e-2-

1

e2

-1＜0，
综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e-2}；
（3）ln(en)＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

等价于lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
若a=1时，由（2）知f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
即f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，∴ln

n

n-1

＞

1

n

．
故ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

即ln(

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

)＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
即ln(en)＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

点评：本题主要考查了利用导数研究的切线方程，以及利用导数研究函数的最值和不等式的证明，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力．