Question

设命题p：函数y=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减；命题q：3^x-9^x＜a对一切的x∈R恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：函数y=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减，得出0＜a＜1，
命题q：3^x-9^x＜a对一切的x∈R恒成立，得a＞

1

4

，
p且q为真时，可得：

1

4

＜a＜1，最后可得出命题“p且q”为假命题时，实数a的取值范围．

解答： 解：∵命题p：函数y=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴x+1∈[1，+∞），0＜a＜1，
∵命题q：3^x-9^x＜a对一切的x∈R恒成立，
∴f（x）=3^x-（3^x）²，
t=3^x，y=-t²+t，t＞0，
当t=

1

2

时，y的最大值

1

4

，
即必须得a＞

1

4

，
∵p且q为真时，可得：

1

4

＜a＜1，
∴命题“p且q”为假命题时，实数a的取值范围为（0，

1

4

）∪（1，+∞），

点评：本题综合考查了函数，不等式，简易逻辑等知识灵活运用，巧用对立事件求解．