Question

若任意两圆交于不同两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且满足

x1-x2

y1-y2

+

y1+y2

x1+x2

=0，则称两圆为“O→心圆“，已知圆C₁：x²+y²-4x+2y-a²+5=0与圆C₂：x²+y²-（2b-10）x-2by+2b²-10b+16=0（a，b∈R）为“O→心圆“，则实数b的值为

 

．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：综合题,直线与圆

分析：由

x1-x2

y1-y2

+

y1+y2

x1+x2

=0，可得（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）=0，将A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入x²+y²-4x+2y-a²+5=0，两方程相减，可得

x1-x2

y1-y2

=

1

2

（*），将A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入x²+y²-（2b-10）x-2by+2b²-10b+16=0，两方程相减，可得

(2b-10)(x1-x2)

y1-y2

+2b=0，将（*）代入得：

2b-10

2

+2b=0，即可求出实数b的值．

解答： 解：∵

x1-x2

y1-y2

+

y1+y2

x1+x2

=0，
∴（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）=0
将A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入x²+y²-4x+2y-a²+5=0得：
x₁²+y₁²-4x₁+2y₁-a²+5=0…①
x₂²+y₂²-4x₂+2y₂-a²+5=0…②
①-②得：（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-4（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）=0
∴4（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0
∴

x1-x2

y1-y2

=

1

2

…（*）
将A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入x²+y²-（2b-10）x-2by+2b²-10b+16=0得：
x₁²+y₁²-（2b-10）x₁-2by₁+2b²-10b+16…③
x₂²+y₂²-（2b-10）x₂-2by₂+2b²-10b+16…④
 ③-④得：（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-（2b-10）（x₁-x₂）-2b（y₁-y₂）=0
∴（2b-10）（x₁-x₂）+2b（y₁-y₂）=0
即：

(2b-10)(x1-x2)

y1-y2

+2b=0，将（*）代入得：

2b-10

2

+2b=0
解得：b=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查新定义，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．