Question

直线y=

1

3

x与抛物线y=x-x²所围图形的面积等于

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：导数的概念及应用

分析：本题考查的知识点是定积分的几何意义，首先我们要联立两个曲线的方程，判断他们的交点，以确定积分公式中x的取值范围，再根据定积分的几何意义，所求图形的面积为S=

∫

2 3 0

（x-x²-

1

3

x）dx，计算后即得答案．

解答： 解：由方程组

y= 1 3 x y=x-x2

，解得，x₁=0，x₂=

2

3

．
故所求图形的面积为S=

∫

2 3 0

（x-x²-

1

3

x）dx=

∫

2 3 0

（

2

3

x-x²）dx=（

1

3

x²-

1

3

x³）

|

2 3 0

=

4

81

．
故答案为：

4

81

．

点评：在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1．作图象；2．求交点；3．用定积分表示所求的面积；4．微积分基本定理求定积分．