Question

设a_n是(1-

x

)n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），若b_n=

an+1

(n+7) a   n+2

，则b_n的最大值是（　　）

• A、

  9-2 14

  25

• B、

  7-2 6

  25

• C、

  3

  50

• D、

  2

  33

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，可得展开式中的x项的系数 a_n，从而求得b_n=

an+1

(n+7) a   n+2

的解析式，再利用基本不等式求得b_n的最大值．

解答： 解：(1-

x

)n的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•（-1）^r•x

r

2

，令

r

2

=1，求得r=2，
故展开式中x项的系数a_n=

C

2 n

，
∴b_n=

an+1

(n+7) a   n+2

=

C 2 n+1

(n+7 )C 2 n+2

=

(n+1)•n 2

(n+7)• (n+2)(n+1) 2

 
=

n

n2+9n+14

=

1

9+n+ 14 n

≤

1

9+2 14

，当且仅当n=

14

n

时，等号成立．
再根据n∈N⁺，可得n=4时，b_n取得最大值为

1

9+4+ 14 4

=

2

33

，
故选：D．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．