Question

已知函数f（x）=2^x-

1

2x

，且2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先将已知代入，然后进行化简（用到因式分解），然后将问题转化为函数的最值问题求解．

解答： 解：由f（x）=2^x-

1

2x

得2^tf（2t）+mf（t）≥0，
即2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0当t∈[1，2]时恒成立．
即2t(2t+

1

2t

)(2t-

1

2t

)+m(2t-

1

2t

)≥0①在[1，2]上恒成立；
因为当t在区间[1，2]上取值时，2^t＞1，所以2t-

1

2t

＞0．
所以①式可化为（2^t）²+m+1≥0恒成立，显然当t=1时（2^t）²+m+1取最小值，即5+m≥0，所以m≥-5．
故答案为m≥-5．

点评：本题考查了不等式的恒成立问题，一般转化为函数的最值问题求解．